Matriks

Pengertian Matriks

Matriks adalah susunan bilangan real (kompleks) berbentuk empat persegi panjang yang dibatasi oleh tanda kurung.

Secara umum sebuah susunan bilangan yang disebutkan di atas biasanya tersusun atas baris atau m dan kolom. Kemudian ada pula yang dinamakan ordo.

Ordo adalah ukuran suatu matriks yang ditunjukkan oleh jumlah baris dan kolomnya.

Ordo = m x n

Istilah-istilah :

Lambang matrik digunakan huruf besar, A, B, C

Elemen matrik digunakan lambang huruf kecil, a. b , c …

Bagian mendatar disebut baris

Bagian tegak disebut kolom Indeks-I menyatkan baris,

indeks-j menyatakan kolom Jumlah baris=m, jumlah kolom=n

Ukuran matrik disebut ordoMatrik dengan jumlah baris=m, jumlah kolom=n diebut dengan ukuran (mxn) atau matrik berordo (mxn).

Jenis Matriks :

1.   Baris, hanya mempunyai satu baris. Ordonya yakni 1×n dengan jumlah kolom sebanyak n.

2.   Kolom, hanya mempunyai satu kolom.Ordonya yakni m×1 dengan jumlah baris sebanyak m.

3.   Matriks Persegi  adalah matriks yang memiliki banyak baris dan kolom yang sama. Secara umum matriks persegi berordo m x m dapat dinotasikan sebagai A =  [aij]m×m

4.     Segitiga, matriks persegi dengan elemen di bawah atas atau di atas diagonal bernilai 0.

* Matriks segitiga atas

        Matriks segitiga atas merupakan matriks yang semua elemen dibawah diagonal                       utamanya adalah bilangan 0.

   * Matriks segitiga bawah                                                                                                                 

Matriks segitiga bawah merupakan matriks yang semua elemen diatas diagonal utamanya adalah bilangan 0.

5.     Matriks Identitas, matriks persegi yang mempunyai elemen 0 di semua

bagiannya kecuali diagonal. Contoh:

6.     Matriks Nol, seluruh elemennya 0.. Matriks nol dinotasikan dengan O.

7.     Matriks diagonal, adalah matriks dimana semua elemen diluar diagonal utamanya adalah 0 dan minimal ada satu elemen pada diagonal utamanya bukan 0.

Contoh A : 

8.     Matriks skalar adalah matriks diagonal dimana elemen pada diagonal utamanya bernilai sama tetapi bukan satu atau nol.

9.     Matriks Baris adalah matriks yang terdiri dari suatu baris

Contoh : A = ( 1 3 4 9 )

 10.  Matriks Kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom.

11.  Matriks mendatar adalah matriks yang banyaknya baris kurang dari banyaknya kolom.

12.  Matriks Tegak adalah matriks yang banyaknya baris lebih dari banyaknya kolom.

13.  Matriks Skew Simetris adalah matriks persegi yang apabila ditransposkan akan sama dengan negatif dari matriks semula.

14. Tranpose

Tranpose artinya perpindahan. Dalam materi ini, yang disebut transpose adalah memindahkan baris dengan kolomnya.

Berarti, jika ordo 4 x 3 berarti menjadi 3 x 4. Lambang tranpose adalah huruf t di bagian atas nama matriksnya. Matriks A transpose, misalnya dilambangkan dengan At.

Contoh:

maka matriks transposenya (At) adalah

 

15. Matriks Simetris 

Matriks kotak A disebut simetris jika A = A^T

Contoh matriks simetris

Operasi Aritmatik Matriks

1.    Penjumlahan Dua Buah Matriks
Dua buah matriks dapat dijumlahkan asalkan memiliki ukuran yang sama. Hasil penjumlahan dua buah matriks menghasilkan sebuah matriks baru yang berukuran sama dengan matriks yang dikalikan.

 
Operasi penjumlahan dan pengurangan dalam matriks sama, hanya perlu mengganti operator + dengan operator -.

2.    Perkalian Dua Buah Matriks
Perkalian pada matriks barangkali sedikit lebih rumit dibandingkan dengan penjumlahan. Dua buah matriks dapat dikalikan jika jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris matriks kedua.

3.    Perkalian Matriks Dengan Skalar
Perkalian matriks dengan skalar artinya mengalikan setiap elemen pada matriks dengan nilai skalar yang kita tentukan.

Contoh Perkalian Matriks Dengan Skalar:

 

Misalkan k adalah sebuah skalar.

 

 

 

 4. .Penjumlahan Matriks

Matriks dengan jumlah baris 3 dan kolom 4 hanya bisa dijumlahkan dengan matriks dengan jumlah baris 3 dan kolom 4. Matriks dengan jumlah baris 3 dan kolom 4 tidak bisa dijumlahkan dengan matriks dengan jumlah baris 4 dan kolom 3. Kesimpulannya, jumlah baris dan kolom antar dua matriks yang akan dijumlahkan harus sama.

. 

5.Pengurangan Matriks

 

Seperti halnya operasi hitung penjumlahan matriks, syarat agar dapat mengurangkan elemen-elemen antar matriks adalah matriks harus memiliki nilai ordo yang sama.

DETERMINAN

Determinan adalah nilai yang dihitung dari unsur-unsur sebuah matriks persegi. Matriks persegi sendiri adalah matriks yang memiliki banyak baris dan kolom yang sama, sehingga bentuknya terlihat seperti persegi. Cara menentukan determinan matriks akan berbeda pada tiap ordo.

a.            Determinan Matriks Berordo 2 x 2

Rumusnya : Det (A) = |A| = ad – bc

Contoh :

Jawab : Det (A) = |A| = ad – bc

                      |A| = (2 x 3) – (5 x 4)

              |A| =6 -20

|A| =14

b.           Determinan Matriks Berordo 3 x 3

Matriks berordo 3×3 adalah matriks berbentuk persegi dengan banyak kolom dan baris sama yaitu tiga.Terdapat dua cara untuk menentukan determinan matriks berordo 3×3, yaitu metode sarrus dan metode minor-kofaktor.

1.            METODE SARRUS

Ciri khas metode ini adalah pola perkalian menyilang elemen matriks.

 

Contoh soal: 

Agar lebih mudah, kita tulis kembali elemen-elemen pada kolom ke-1 dan ke-2 di sebelah kanan matriks A sebagai berikut:

 

Kemudian, tarik garis putus-putus seperti gambar di atas. Kalikan elemen-elemen yang terkena garis putus-putus tersebut. Hasil kali elemen yang terkena garis putus-putus berwarna biru diberi tanda positif (+), sedangkan hasil kali elemen yang terkena garis putus-putus berwarna oranye diberi tanda negatif (-). 

 

 

2.            METODE MINOR- KOFAKTOR

Berdasarkan rumus minor-kofaktor di atas, determinan matriks A dapat dicari dengan menghitung jumlah seluruh hasil kali antara kofaktor matriks bagian dari matriks A dengan elemen-elemen pada salah satu baris atau kolom matriks A. Jadi, pertama, kita pilih salah satu baris atau kolom matriks A untuk mendapatkan nilai determinannya. Misalnya, kita pilih baris ke-1. Elemen-elemen matriks baris ke-1, yaitu a11, a12, dan a13.

 

 

Selanjutnya, karena kita pilih elemen-elemen pada baris ke-1, rumus determinan matriks yang kita gunakan adalah sebagai berikut:

 

 

Langkah kedua, kita cari kofaktor matriks bagian dari matriks A (Cij). Cij = (-1)i+j Mij dan Mij = det Aij dengan Aij merupakan matriks bagian dari matriks A yang diperoleh dengan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j.

Sebelumnya, kita telah memilih elemen-elemen pada baris ke-1, yaitu a11, a12, dan a13. Oleh karena itu, matriks bagian dari matriks A nya adalah A11, A12, dan A13.

·                 A11 diperoleh dengan menghilangkan elemen-elemen pada baris ke-1 dan kolom ke-1.

 

 

·                 A12 diperoleh dengan menghilangkan elemen-elemen pada baris ke-1 dan kolom ke-2.

 

·                 A13 diperoleh dengan menghilangkan elemen-elemen pada baris ke-1 dan kolom ke-3.

 

Sehingga,

 

 

 

 

  C. Determinan Matriks Berordo 4x4

 

1.            Determinan Metode EKSPANSI LAPLACE

Andaikan, A=[ ] (nxn) adalah matrik bujur sangkar berordo (nxn),   dan =  adalah kofaktor elemen matrik A baris ke-i kolom ke-j.

a.            Untuk n = 1,

Det(A) = [A]=[ ]=

Untuk, n  determinan matrik A diberikan oleh,

b.           Det(A) =   ; i = 12,.....,    n

              = + +....+  ( Ekspansi kofaktor baris ke-i )

c.             Det(A) =  ; j = 1,2,......,    n

              =  + +......+  ( Ekspanse kofaktor kolom ke – j.

CONTOH :

Penyelesaian :

 = a31C31 + a32C32 + a33C33

= a31(-1)3+1M31 + a32(-1)3+2M31 + a33(-1)3+3M31

= a31M31 – a32M31 + a33M31

 

 

       

 = 3[6(8)-0(6)] – 2[0(8)-8(0)] + 2[0(6)-8(6)]

                     = 144 – 0 – 96

   Ekspansi kofaktor baris

 

 

 

Ekspansi kofaktor kolom 

 

2.            Cara menghitung determinan (A) dengan metode sarrus (Ordo 4×4)

Masih dengan ciri khas perkalian menyilang milik Sarrus.

Pola pertama dimulai tanda + (plus) dengan aturan 1 – 1 – 1

 

Pola berikutnya dimulai tanda – (minus) dengan aturan 1 – 2 – 3

 

 

Pola terakhir dimulai tanda + (plus) dengan aturan 2 – 1 – 2 

 

Maka, nilai determinan adalah jumlah dari ketiga pola yang dijelaskan di atas, yaitu:

Det A = A1 +  A2 + A3

   CONTOH SOAL :  

penyelesaian : menggunakan baris ke-4 kolom ke-4

 

dan terbukti kalau hasilnya sama yaitu 8.

1.            DETERMINAN : METODE CHIO

Determinan matriks A biasanya dinyatakan oleh |A| atau det(A). Terdapat beberapa metode yang digunakan untuk menentukan determinan matriks yaitu metode Sarrus, Ekspansi Kofaktor, dan Kondensasi (Penyusutan) CHIO. Kondensasi CHIO merupakan salah satu metode yang dapat digunakan dalam menentukan determinan matriks yang memiliki ordo n x n dengan n≥3.

Kondensasi CHIO menyusutkan determinan matriks ordo n x n menjadi ordo (n-1)x(n-1) .

untuk matriks dengan ordo 3x3. Persamaan yang digunakan untuk metode CHIO ini sebagai berikut:

Selanjutnya untuk matrik dengan ordo 4 x 4. Persamaan yang digunakan untuk metode CHIO ini sebagai berikut:

 

Apabila ukuran matriksnya diperluas menjadi n x n, maka diperoleh persamaan untuk metode CHIO adalah sebagai berikut:

Contoh 1 :

Contoh 2 :

2.            SIFAT-SIFAT DETERMINAN

1.     Jika A adalah sebarang matriks kuadrat yang mengandung sebaris bilangan nol, maka det(A) = 0.

2. Jika A adalah matriks segitiga n x n, maka det(A) adalah hasil kali entri-entri pada diagonal utama, yakni det(A) = a11a22 … ann

3.     Misalkan A’ adalah matriks yang dihasilkan bila baris tunggal A dikalikan oleh konstanta k, maka det(A’) = k det(A).

4.     Misalkan A’ adalah matriks yang dihasilkan bila dua baris A dipertukarkan, maka det(A’) = -det(A).

5.     Misalkan A’ adalah matriks yang dihasilkan bila kelipatan satu baris A ditambahkan pada baris lain, maka det(A’) = det(A).

 

6.     Misalkan A, A’ dan A” adalah matriks n x n yang hanya berbeda dalam baris tunggal, katakanlah baris ke-r, dan anggap bahwa baris ke r dari A” dapat diperoleh dengan menambahkan entri-entri yang bersesuaian dalam baris ke-r dari A dan dalam baris ke-r dari A’, maka det(A”) = det(A) + det(A’) [hasil yang serupa juga berlaku untuk kolom]

3.      METODE CROUT

Adalah mendekomposisi suatu matriks untuk memperoleh elemen diagonal utama matriks segitiga atas (U) bernilai satu elemen lainnya

rumus dari metode crout sebagai berikut:

 

     Langkah-langkah yang harus dilakukan pada Metode Reduksi Crout adalah :

 

Didapatkan persamaan sehingga rumusnya :

 Contoh soal metode crout :

 4. Determinan matrik dengan metode dekomposisi

Dekomposisi matriks adalah memodifikasi atau merubah matriks menjadi matriks segitiga bawah (L) dan/atau matrks segitiga atas (U), sehingga:

A = LU  maka didapat, Det(A) = det(L) det(U)

                  

 

 Dalam menghitung dekomposisi matriks ada beberapa metode, diantaranya:

1.    1.  Metode crout, metode ini digunakan untuk mendekomposisi matriks yang menghasilkan elemen diagonal utama dari matriks segitiga atas U adalah satu.

2.    2.  Metode doollite, metode ini digunakan untuk mendekomposisi matriks yang menghasilkan elemen diagonla utama matriks segitiga bawah L adalah satu.

1.   3.   Metode Cholesky, metode ini digunakan untuk endekomposisi matriks diagonal utama L dan U sama. Metode ini hanya untuk matriks yang simetris.

   4.    Metode operasi elementer, metode ini digunakan untuk mendekomposisi matriks menjadi segitiga atas atau segitiga bawah

Contoh soal determinan matrik menggunakan metode dekomposisi matrik :

Dekomposisi matriks berikut menjadi matriks segitiga bawah (L) dan segitiga atas (U).

5. Metode Doolittle :

RUMUS UMUM METODE DOOLITTLE :

CONTOH SOAL DOOLITTLE :

INVERS MATRIKS

PENGERTIAN :

Invers matriks adalah sebuah kebalikan (invers) dari kedua matriks di mana apabila matriks tersebut dikalikan menghasilkan matriks persegi (AB = BA ). Simbol dari invers matriks adalah pangkat -1 di atas hurufnya. Contoh matriks B adalah invers matriks A ditulis B = A–1 dan matriks A adalah invers dari matriks B ditulis A = B-1. Matriks A dan B merupakan dua matriks yang saling invers (berkebalikan). Invers matriks terdiri dari dua jenis yaitu matriks persegi (2×2) dan matriks 3×3

TEKNIK MENGHITUNG INVERS :

·         Metode Adjoint Matrik

·         Metode Operasi Elementer Baris (OBE)

·         Metode Perkalian Invers Matrik Elementer

·         Metode Partisi Matrik

·         Program Komputer – MATCADS, MATLAB

·         WS OFICE EXCELL

A.    METODE ADJOINT MATRIK

·        Invers Matriks 3×3 Metode Adjoin

Adjoin diperoleh dari transpose suatu matriks. Caranya mudah, yaitu diagonal utama sebagai sumbu putar. Putar berlawanan arah jarum jam dan didapatlah Adjoin.

Rumus Invers Matriks :

Contoh Soal:

Tentukan invers matriks berikut ini menggunakan metode adjoint!

Penyelesaian :

·        Invers Matriks 4 x 4 Metode Adjoin

Contoh soal :

 

 

 

 B. Metode Operasi Baris Elementer ( OBE )

* Invers Matrik Menggunakan Metode OBE

OBE adalah salah satu alternatif dalam menyelesaikan suatu bentuk matriks seperti menentukan invers matriks. Ada 3 langkah dalam menyelesaikan OBE, yaitu :

1.      Mengalikan suatu baris bilangan dengan bilangan bukan nol.

2.      Menambah kelipatan suatu baris pada baris lain.

3.      Menukarkan sembarang dua buah baris

Ketiga langkah OBE tersebut hanya bisa digunakan salah satunya saja.

Contoh Soal :

C. PERKALIAN MATRIKS ELEMENTER

Matrik elementer adalah matrik yang diperoleh dari operasi elementer yang dikenakan pada matrik identitas. Setiap matrik elementer mempunyai invers, dan setiap matrik bujur sangkar berordo (nxn) yang mempunyai invers ekivalen baris terhadap matrik identitas I.

Matrik elementer E diperoleh dari transformasi matrik identitas dimana pada kolom ke-I diganti dengan normalitas vektor kolom :

Contoh Soal :

D. Metode Partisi

Adalah Metode yang digunakan untuk menyelesaikan Invers matriks.

Untuk mempermudah kita langsung ke contoh soal saja. Jadi disini saya memiliki sebuah matriks berordo 3×3:

1. 1.  Langkah pertama dalam mengerjakan Metode Partisi adalah dengan menentukan A11,A12,A21 dan A2 dimana untuk pembagiannya bisa menggunakan banyak cara tergantung dari yag mengerjakan soal.

2.      mencari invers A22, hal ini dikarenakan invers A22 akan digunakan di dalam rumus-rumus partisi selanjutnya.

3.      Mencari Matriks B11 dengan rumus

Nah kita tinggal mensubtitusikan nilai A11,A12,invers A22,dan A21. dan jalankan secara matematis, namun don’t forget untuk menginverskan hasilnya lagi .

4.      Mencari Matriks B12 dengan rumus

Nah kita tinggal mensubtitusikan nilai B11,A12,dan invers A22. dan jalankan secara matematis, namun jangan lupa untuk mengalikan hasilnya dengan (-) .

5.      Mencari Matriks B21 dengan rumus

Nah kita tinggal mensubtitusikan nilai B11,A12,dan invers A22. dan jalankan secara matematis, namun jangan lupa untuk mengalikan hasilnya dengan (-) .

6.      Mencari Matriks B22 dengan rumus

Nah kita tinggal mensubtitusikan nilai B12,A21,dan invers A22. dan jalankan secara matematis .

7.      Terakhir  subtitusikan Matriks B11,B12,B21,dan B22 pada matriks yang berordo 3x3.

setelah kita subtitusikan didapatkan hasil dari invers dari matriks A.

 SISTEM PERSAMAAN LINIER

Sistem persamaan linear adalah sekumpulan persamaan linear yang terdiri dari beberapa variabel. Contohnya adalah:

 

Sistem ini terdiri dari tiga persamaan dengan tiga variabel x, y, z. Solusi sistem linear ini adalah nilai yang dapat menyelesaikan persamaan ini. Solusinya adalah:

X = 1

Y = -2

Z = -2

Contoh sistem linear yang paling sederhana adalah sistem linear dengan dua persamaan dan dua variabel:

2x + 3y = 6

4x + 9y = 15

Salah satu cara untuk menyelesaikan sistem tersebut adalah dengan mengubah persamaan pertama menjadi seperti ini:

 

Kemudian masukkan nilai x ke dalam persamaan kedua:

 

Hasilnya adalah satu persamaan dengan satu variabel saja, yaitu y. Dari persamaan ini diketahui bahwa y=1 dan y bisa dimasukkan ke dalam persamaan pertama untuk mencari x. Hasilnya adalah x=3/2.

Bentuk umum

Sistem persamaan linear m dengan n yang tidak diketahui dapat ditulis seperti ini

 

Cara menyelesaikan SPL bisa menggunakan beberapa metode :

·        Metode Eliminasi Gouss

·        Metode Eliminasi Gouss Jourdan

·        Metode Crammer

·        Metode Invers Matrik

·        Metode Dekomposisi Matrik

·        Metode Gouss Seidel

·        Metode Jacobi

·        Metode Numerik

·        Solusi dengan program komputer

 

·        METODE ELIMINASI GOUSS

 

maka x = 1, y= 2, z=3.

·         METODE ELIMINASI GOUSS JOURDAN

 

·         METODE CRAMMER 

Aturan Cramer adalah rumus untuk mencari penyelesaian sistem persamaan linear dengan memakai determinan suatu matriks dan matriks lain yang disusun dengan mengganti salah satu kolom dengan vektor yang terdiri dari angka di sebelah kanan persamaannya. Sebagai contoh:

 

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

Dalam Aljabar Linear, Nilai Eigen () adalah nilai karakteristik dari suatu matriks berukuran n x n, sementara vektor Eigen adalah vektor kolom bukan nol yang bila dikalikan dengan suatu matriks berukuran n x n akan menghasilkan vektor lain yang memiliki nilai kelipatan dari vektor Eigen itu sendiri.

Persamaan karakteristik dari matriks A adalah persamaan dengan variabel lamda yang digunakan untuk perhitungan nilai dan vektor Eigen. Polinomial karakteristik f(λ) adalah fungsi dengan variabel λ yang membentuk persamaan karakteristik. Persamaan karakteristik bisa diperoleh lewat cara berikut:

Contoh Soal dan Pembahasan :

1.     Jika A = 

tentukan eigen dan vektor eigen dari matriks tersebut!

Jawab : det (A-Iλ) = 0, mencari eigen :

( A-Iλ )

2.      Tentukan nilai dan vektor eigen dari matriks!

Diagonalisasi

langkah-langkah menentukan matrik P dan D adalah :

1. Hitung persamaan karaketristik A nilai eigen

2. Carilah n vektor eigen bebas linier A sesuai nilai eigen,P1,P2,...Pn,

3. Bentuklah matrik P = [P1,P2,...Pn] dan hitunglah P invers

4. Hitung D = Pinvers.AP dengan diagonal utama, 𝞴1,𝞴2,...𝞴n.

Contoh soal :

  ORTOGONALISASI  MATRIK

Matriks Ortogonal adalah matriks persegi yang inversnya sama dengan transpos. Baris-baris pada matriks ortogonal membentuk himpunan ortonormal. Dengan kata lain, baris-barisnya adalah vektor satuan, di mana hasil kali titik (dot product) antara dua baris berbeda adalah nol.

Matriks persegi A disebut Matriks Ortogonal jika invers dari matriks A sama dengan transposnya. Dengan kata lain, hasil kali antara matriks A dengan transposnya adalah matriks identitas.

Berdasarkan definisi, matriks ortogonal pasti invertible (punya invers) dan inversnya adalah transpos dari matriks tersebut.

contoh soal :

 Ruang Vektor (Vector Space)

Anggap V adalah sembarang himpunan tak kosong dari objek di mana operasi penjumlahan dan operasi perkalian skalar didefinisikan. Penjumlahan yang dimaksud adalah aturan yang menghubungkan setiap pasangan objek ¯u,¯v∈V dengan suatu objek ¯u+¯v, yang disebut sebagai jumlah dari ¯u dan ¯v. Sedangkan perkalian skalar adalah aturan yang menghubungkan setiap skalar k dan objek ¯u∈V dengan objek k¯u. Jika 10 aksioma berikut terpenuhi oleh semua objek ¯u,¯v,¯w∈V dan skalar k dan m, maka V disebut sebagai ruang vektor dan semua objek di dalamnya disebut vektor. 
Aksioma 1:
Jika ¯u dan ¯v adalah objek dalam V, maka ¯u+¯v juga berada dalam V. 
Catatan: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai sifat ketertutupan operasi penjumlahan. 
Aksioma 2:
¯u+¯v=¯v+¯u
Catatan: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai sifat komutatif penjumlahan. 
Aksioma 3:
¯u+(¯v+¯w)=(¯u+¯v)+¯w
Catatan: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai sifat asosiatif penjumlahan. 
Aksioma 4:
Ada objek ¯0 dalam V yang disebut objek nol (selanjutnya vektor nol), sedemikian sehingga berlaku
¯0+¯u=¯u+¯0=¯u
untuk setiap u∈V. 
Catatan 1: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai bentuk identitas penjumlahan.
Catatan 2: Objek ¯0 yang disebut sebagai “identitas” tidak selalu berarti vektor nol ¯0=(0,0,⋯,0). Hal ini tergantung dari definisi operasi yang diberikan. Jika diberikan himpunan A, maka untuk a∈A, haruslah berlaku
a∗¯0=a
Prinsip seperti ini sebenarnya sama dengan prinsip pada identitas penjumlahan/perkalian bilangan real, yaitu untuk a∈R,
a+0=a dan a×1=a
Untuk itu, 0 disebut identitas penjumlahan dan 1 disebut identitas perkalian pada bilangan real.
Aksioma 5:
Untuk setiap ¯u∈V, ada objek −¯u∈V yang disebut negatif dari ¯u sedemikian sehingga berlaku
¯u+(−¯u)=(−¯u)+¯u=¯0
Catatan 1: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai invers penjumlahan.
Catatan 2: −¯u juga tidak selalu sama dengan −¯u=(−u1,−u2,⋯,−uk). Hal ini tergantung dari operasi yang diberikan. Suatu vektor dikatakan invers dari vektor yang lain jika keduanya dioperasikan menghasilkan identitas. Untuk itu, identitasnya harus terlebih dahulu diketahui.
Aksioma 6:
Jika k adalah sembarang skalar dan ¯u adalah sembarang objek dalam V, maka berlaku k¯u∈V. 
Catatan: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai sifat ketertutupan operasi perkalian. 
Aksioma 7:
k(¯u+¯v)=k¯u+k¯v
Catatan: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan. 
Aksioma 8:
(k+m)¯u=k¯u+m¯u
Catatan: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan. 
Aksioma 9:
k(m¯u)=(km)¯u
Catatan: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai sifat asosiatif perkalian. 
Aksioma 10:
1¯u=¯u
Catatan: Aksioma ini mungkin telah dipandang umum sebagai bentuk identitas perkalian.

contoh soal :

Kita perlu memeriksa keberlakuan cukup 1 saja aksioma ruang vektor.jika 1 aksioma sudah terbukti maka benar.

 Dengan demikian, V adalah ruang vektor real.

Subruang/Subspace/Ruang Bagian

Misalkan  V adalah ruang vektor dan W  adalah himpunan bagian dari V . Himpunan  W  disebut subruang dari V , jika W  merupakan ruang vektor di bawah operasi penjumlahan vektor dan perkalian skalar yang didefinisikan pada V .

CONTOH SOAL

Kombinasi Linear

Misalkan V adalah ruang vektor dan v1​,v2​ adalah dua vektor dalam V. Pada V berlaku operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar. Artinya, kita dapat mengalikan v1​ dan v2​ dengan skalar, sebutlah k dan m, sehingga terbentuk vektor kv1​ dan mv2​. Dengan menjumlah kedua vektor, diperoleh kv1​+mv2​. Nah, vektor ini disebut sebagai kombinasi linear dari v1​ dan v2​.

Sebagai contoh, salah satu kombinasi linear dari (1,2) dan (0,3) adalah 2⋅(1,2)−1⋅(0,3)=(2,1). Kombinasi linear lainnya adalah 0⋅(1,2)+2⋅(0,3)=(0,6).

Berdasarkan definisi, vektor w disebut kombinasi linear dari v1​,v2​,…,vr​ jika kita dapat menemukan skalar-skalar k1​,k2​,…,kr​ yang memenuhi persamaan vektor
w=k1​v1​+k2​v2​+…+kr​vr​

contoh soal :

Akibatnya, solusi sistem persamaan di atas adalah k1​=−3 dan k2​=2. Dengan demikian, w adalah kombinasi linear dari u1​ dan u2​.

Kebebasan Linear 

Jika S = { v₁ , v₂ , … v_r } adalah himpunan vector, maka persamaan vektor 

k₁v₁ + k₂v₂ +……+ k_rv_r = 0

mempunyai paling sedikit satu pemecahan 

k₁ = 0
k₂ = 0
k_r = 0

Jika ini adalah satu-satunya pemecahan, maka S kita namakan himpunan bebas linear (linearly independent). Jika ada pemecahan lain, maka S kita namakan himpunan tak - bebas linear (linearly dependent)

         Contoh soal:

Tentukan apakah himpunan berikut ini bebas linear?
1) S = { (2,1,1) , (3,1,0) , (2,1,-3) }

Jawab:
S = { (2,1,1) , (3,1,0) , (2,1,-3) }

k₁v₁ + k₂v₂ +……+ k_rv_r = 0

menjadi

k₁(2,1,1) + k₂(3,1,0) + k₃(2,1,-3) = (0,0,0)
(2k₁ + 3k₂ + 2k₃ ,k₁ + k₂ + k₃ ,k₁ - 3k₃) = (0,0,0)

didapat SPL

2k₁ + 3k₂ + 2k₃  = 0
k₁ + k₂ + k₃        = 0
k₁           - 3k₃      = 0

Karena determinan dari matriks tersebut adalah  4

dengan aturan cramer, maka didapat k₁ = 0/4 , k₂ = 0/4, dan k₃ = 0/4.

Jadi persamaan tersebut mempunyai satu-satunya pemecahan yaitu k₁=k₂=k₃ = 0 maka S bebas Linear.

         BASIS DAN DIMENSI 

Basis : suatu ukuran tertentu yang menyatakan komponen dari sebuah vector. Dimensi biasanya dihubungkan dengan ruang, misalnya garis adalah ruang dengan dimensi 1, bidang adalah uang dengan dimensi 2 dan seterusnya. Definisi basis secara umum adalah sebagai berikut :

Jika V adalah ruang vektor dan S = {v1, v2, v3, ….., vn} adalah kumpulan vektor di dalam V, maka S disebut sebagai basis dari ruang vektor V jika 2 syarat berikut ini dipenuhi :

i. S bebas linier; ii. S serentang V.

CONTOH :

TENTUKAN BASIS DAN DIMENSI DARI RUANG VEKTOR YANG DIBENTUK OLEH : 

A = [1,2,3] B = [2,4,6] C = [2,3,5]

JAWAB : 

misal : p = [p1,p2,p3]

p = q1A+q2B+q3C

(p1,p2,p3)=q1(1,2,3)+q2(2,4,6)+q3(2,3,5)

(p1,p2,p3)= q1+2q2+2q3, 2q1+4q2+3q3, 3q1+6q2+5q3

q1+2q2+2q3=p1

2q1+4q2+3q3=p2 

3q1+6q2+5q3=p3

jika membangun det MK tidak samadengan 0.

TRANSFORMASI LINEAR

Defenisi, jika F:V W adalah sebuah fungsi dari ruang vektor V ke dalam ruang vektor W, maka F kita namakan transformasi linear ( linear transformasi) jika

(i) F(u + v) = F (u) + F (v) untuk semua vektor u dan v di V.

(ii )F(ku) = kF(u) untuk semua vektor u di dalam V dan semua skalar k.

Untuk melukiskannya, misalnya F:R²àR³ adalah fungsi yang didefinisikan oleh pers. 1, , sehingga

           

Demikian juga, jika k adalah sebuah skalar, ku = (kx₁, ky₁), sehingga

Jadi, F adalah sebuah transformasi linear.

Jika F:VàW adalah sebuah transformasi linear, maka untuk sebarang v₁ dan v₂ di V dan sebarang skalar k₁ dan k₂, kita peroleh

Demikian juga, jika v₁, v₂, ……,v_n adalah vektor-vektor di V dan k₁, k₂,…….k_n adalah skalar, maka\\\

Kita sekarang memberikan contoh lebih lanjut mengenai transformasi linear.

Contoh 1

Misalkan A adalah sebuah matriks m x n tetap. Jika kita menggunakan notasi matriks untuk vektor di R^m dan Rⁿ, maka dapat kita defenisikan sebuah fungsi T :RⁿàR^mdengan :

T(x) = Ax

Perhatikan bahwa jika x adalah sebuah matriks n x 1, maka hasil kali Ax adalah matriks m x 1 ; jadi T memetakan Rⁿ ke dalam R^m. lagi pula, T linear, untuk melihat ini, misalkan u dan v adalah matriks n x 1 dan misalkan k adalah sebuah skalar. Dengan menggunakan sifat-sifat perkalian matriks, maka kita dapatkan

Atau secara ekivalen

Kita menamakan transformasi linear pada contoh ini perkalian oleh A. Transformasi linear semacam ini dinamakan transformasi matriks.

Contoh 2